terça-feira, 28 de fevereiro de 2012

CONJUNTOS

1 - A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

 
2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.


2.1 - Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,
onde o símbolo Î significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação
y Ï A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.



2.2 - Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.

Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
Quando um elemento está em um conjunto dizemos que ele pertence a esse conjunto. Para isso utilizamos os símbolos, Î   (pertence)  e  Ï  (não pertence).

Ex. A= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, ...}

ΠA,  (6 pertence a A)
Ï  A,  (5 não pertence a A)

Entre conjuntos utilizamos as relações de inclusão. Para isso utilizamos os símbolos:

         Ì Lê-se "está contido em" ;
         Ë Lê-se "não está contido em" ;
         = Lê-se "idêntico a" ;
         ¹ Lê-se "não idêntico a" ;
         É Lê-se "contém" ;
    Lê-se "não contem" ;

Quando queremos comparar números utilizamos os símbolos: 
  • <   lê-se "menor que"  
  • >   lê-se "maior que"
  •    lê-se "menor ou igual a"
  •    lê-se "maior ou igual a"
__________________________________________________________________________________________________________
  • União de Conjuntos 
Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 

  • Intersecção de Conjuntos
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum.
Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são elementos que pertencem aos dois conjuntos. 

Se dois conjuntos não tem nenhum elemento comum a intersecção deles será um conjunto vazio*.

Dentro da interseção de conjuntos há algumas propriedades:
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é:
     A ∩ B = B ∩ A.
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 


*Conjunto Vazio 

O conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sua representação pode ser feita utilizando duas simbologias: { } ou Ø. Por exemplo:

  •  O conjunto dos números naturais antecessores ao 0 (zero) é considerado vazio, pois nos números naturais não existe antecessor de zero. 
  •  O conjunto dos números fracionários existentes no conjunto dos números inteiros é considerado um conjunto vazio, pois não existem frações dentre os números inteiros. 

3 - Conjuntos numéricos fundamentais





Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
3.1 - Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

[CONJUNTO+DOS+NÚMEROS+NATURAIS.jpg]

3.2 - Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Nota: é evidente que N Ì Z.













3.3 - Conjunto dos números racionais
Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3,
7 = 7/1, etc.

Todo número que puder ser escrito como uma fração onde o seu numerador é um número inteiro e o seu denominador é um inteiro diferente de zero é um Número Racional.
O conjunto numérico dos racionais é designado pela letra , para lembrar de "quociente".
ℚ = { a ∊ ℤ e b ∊ ℤ*| a/b }
Obs.
= {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} e ℤ* = {..., -2, -1, 1, 2, 3, ...}
Exemplos.
  • 3 pode ser escrito na forma de quociente de inteiros. Um exemplo: 3/1, logo 3 é Racional.
  • 2/5 já é um quociente entre inteiros, logo 2/5 é um Racional.
Cardicas:
  1. Toda Dízima Periódica é um número Racional.
  2. Toda Dízima Finita é um número Racional.
  3. Nenhuma Dízima Infinita e não Periódica é Racional. São exemplos clássicos π (Constante de Arquimedes, PI = 3, 1415...), φ (Número de Ouro = 1,618 ...) ou e (Constante de Euler = 2,71 ... )
  4. Todo número Inteiro é Racional.
  5. Todo número Natural é Racional.
  6. Todo número Real que não é Racional é chamado de Irracional.

Notas:

a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9

Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS 


que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:


Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros. 

- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?


- Ora, o 6 pode ser representado pela fração  


ou até mesmo ,


e o 2,3 pode ser 

portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??


- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.


Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser ) e mais alguns.

Em suma:
  • Os números racionais são números inteiros, como por exemplo: 12, -3, ...
  • Ou são números fracionários, como por exemplo: menos cinco terços; sete terços; sete doze avos; ...
  • Qualquer número racional corresponde uma dízima finita (como por exemplo 2,5) ou uma dízima infinita periódica ( 2,33333333....= 2,(3) dízima infinita periódica de período 3)


Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:





Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!

Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.

Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:



3.4 - Conjunto dos números irracionais
Q'
= {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
3.5 - Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) Q' Ì R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

4 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.


TIPOSREPRESENTAÇÃOOBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO[p;q] = {x Î R; p £ x £ q}inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO(p;q) = { x Î R; p < x < q}exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA[p;q) = { x Î R; p £ x < q}inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À DIREITA(p;q] = {x Î R; p < x £ q}exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p}valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO(p; ¥ ) = { x > p }valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).
5 - Operações com conjuntos
5.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.
5.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
5.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - f = A
b) f - A = f
c) A - A = Æ
d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
5.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = fb) B È B' = U
c) f' = U
d) U' = f
6 - Partição de um conjuntoSeja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
8 - Exercícios resolvidos:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
*c)9
d)10
e)11

EPUSP - 1966) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
- choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- quando chove de manhã, não chove à tarde;
- houve cinco tardes sem chuva;
- houve seis manhãs sem chuva

Então, n é igual a

(A) 7
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) nenhuma das respostas anteriores.

Nota: Em 1966 - ano desta questão na Escola Politécnica da USP, a Seleção Brasileira de futebol foi eliminada da Copa do Mundo realizada na Inglaterra. Ouvi os jogos pelo rádio, aos 13. O Brasil iniciou ganhando por 2x0 da Bulgária - do grande centro-avante Asparukov mas, perdeu para Portugal - dos grandes Eusébio e Coluna, por 3x1. Ali, acabava o sonho do tri-campeonato, o qual veio a se concretizar no México em 1970, com a seleção montada pelo saudoso treinador #João Saldanha e concretizada por #Zagalo. Diga-se de passagem, a Seleção Brasileira de 1970, só não foi superior àquelas de 1958 e 1962! Mas, foi uma grande seleção.

Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T respectivamente, teremos:

n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M
Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:
n(M
È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0


Podemos escrever também:
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:


n(M') + n(T') = 11
n(M) + N(T) = 7


Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9


Resposta: Foram nove dias de férias ou seja: alternativa B.


2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35
c)36
d)47
e)37

52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:


SOLUÇÃO:

Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.



Pelo enunciado do problema, poderemos escrever:
x+y+z+w = 52
y+z = 4y
y+z = 2(x+y)
y+z = w/2
Desenvolvendo e simplificando, vem:
x+y+z+w = 52 (eq.1)
z = 3y (eq. 2)
z = 2x + y (eq. 3)
w = 2y + 2z (eq. 4)


Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = y
Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y
Expressando a eq. 1 em função de y, vem:
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4.


Temos então por simples substituição:
z = 3y = 12
x = y = 4
w = 8y = 32


A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos:
O problema pede para determinar o número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos excluir os elementos da interseção A
Ç B. Portanto, a resposta procurada será igual a:
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?


Perceberam a sutileza da pergunta: quantas pessoas não gostavam dos dois produtos, ou seja, não gostavam de A e B?
Resp: 48 pessoas
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
*a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5

UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
A) 29
B) 24
C) 11
D) 8
E) 5


SOLUÇÃO:

Observe o diagrama de VENN abaixo:



Podemos escrever:

x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:
x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.
Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.
Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29
Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.


FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
A) século XIX
B) século XX
C) antes de 1860
D) depois de 1830
E) nenhuma das anteriores


Pode-se garantir que a resposta correta é:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E


SOLUÇÃO:

Veja os seguintes comentários:
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que o escritor nem teria nascido!
Para visualizar isto, veja a figura abaixo.
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.


Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.


4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
a)século XIX
b)século XX
c)antes de 1860
d)depois de 1830
e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a
b)b
*c)c
d)d
e)e

UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
A) 29
B) 24
C) 11
D) 8
E) 5


SOLUÇÃO:

Observe o diagrama de VENN abaixo:



Podemos escrever:

x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:
x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.
Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.
Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29
Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.


FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
A) século XIX
B) século XX
C) antes de 1860
D) depois de 1830
E) nenhuma das anteriores


Pode-se garantir que a resposta correta é:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E


SOLUÇÃO:

Veja os seguintes comentários:
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que o escritor nem teria nascido!
Para visualizar isto, veja a figura abaixo.
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.


Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.



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