domingo, 10 de outubro de 2010

Exercícios resolvidos: CONJUNTOS

1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
*c)9
d)10
e)11
Veja a solução AQUI.
Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
  • - choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
  • - quando chove de manhã, não chove à tarde;
  • - houve cinco tardes sem chuva;
  • - houve seis manhãs sem chuva.
    Calcule o valor de n.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M
Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:
n(M
È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:

n(M') + n(T') = 11
n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9

Resposta: Foram nove dias de férias ou seja n = 9 dias.

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35
c)36
d)47
e)37
Para ver a solução clique AQUI

52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:

SOLUÇÃO:
Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.

Pelo enunciado do problema, poderemos escrever:
x+y+z+w = 52
y+z = 4y
y+z = 2(x+y)
y+z = w/2
Desenvolvendo e simplificando, vem:
x+y+z+w = 52 (eq.1)
z = 3y (eq. 2)
z = 2x + y (eq. 3)
w = 2y + 2z (eq. 4)

Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = y
Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y
Expressando a eq. 1 em função de y, vem:
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4.

Temos então por simples substituição:
z = 3y = 12
x = y = 4
w = 8y = 32

A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos:
O problema pede para determinar o número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos excluir os elementos da interseção A
Ç B. Portanto, a resposta procurada será igual a:
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?

Perceberam a sutileza da pergunta: quantas pessoas não gostavam dos dois produtos, ou seja, não gostavam de A e B?
Resp: 48 pessoas


3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
*a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5
Clique AQUI para ver a solução.

UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
A) 29
B) 24
C) 11
D) 8
E) 5

SOLUÇÃO:
Observe o diagrama de VENN abaixo:

Podemos escrever:
x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:
x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.
Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.
Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29
Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
A) século XIX
B) século XX
C) antes de 1860
D) depois de 1830
E) nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E

SOLUÇÃO:
Veja os seguintes comentários:
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que o escritor nem teria nascido!
Para visualizar isto, veja a figura abaixo.
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.

Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.


4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
a)século XIX
b)século XX
c)antes de 1860
d)depois de 1830
e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a
b)b
*c)c
d)d
e)e
Clique AQUI para ver a solução
UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:
A) 29
B) 24
C) 11
D) 8
E) 5

SOLUÇÃO:
Observe o diagrama de VENN abaixo:

Podemos escrever:
x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:
x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.
Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.
Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29
Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
A) século XIX
B) século XX
C) antes de 1860
D) depois de 1830
E) nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E

SOLUÇÃO:
Veja os seguintes comentários:
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que o escritor nem teria nascido!
Para visualizar isto, veja a figura abaixo.
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.

Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.

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