quarta-feira, 29 de fevereiro de 2012

EXERCÍCIOS COMENTADOS DE PROPORÇAO

Enunciado1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?
Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b está para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:
representação da proporção
Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporção teremos:
representação da proporção
Portanto:
Solucionando o problema
RespostaChegamos então que os dois números são 240 e 270.
Enunciado2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b?
Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:
representação da proporção
Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:
representação da proporção
Portanto:
Solucionando o problema
RespostaOs dois números são 96 e 120.
Enunciado3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b?
Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:
representação da proporção
Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 76. Substituindo tais valores teremos:
representação da proporção
Portanto:
Solucionando o problema
RespostaOs dois números são 117 e 63.
Enunciado4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números?
Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:
representação da proporção
Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos:
representação da proporção
Portanto:
Solucionando o problema
RespostaChegamos então que os dois números são 299 e 247.
Enunciado5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?
Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:
representação da proporção
Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:
apurando o valor de 'b'
Para calcularmos o valor de a temos:
Calculando o valor de 'a'
Portanto:
RespostaPedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos.
Enunciado6) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?
Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da segunda propriedade das proporções temos que:
representação da proporção
Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em 60. Substituindo-os na proporção temos:
apurando o valor de 'a'
Calculemos o valor de b:
Calculando o valor de 'b'
Portanto:
RespostaUma das sacolas pesa 8kg ao passo que a outra pesa 7kg.
Enunciado7) A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?
Identifiquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no enunciado, a está para b, assim como 87 está para 51. A segunda propriedade das proporções nos diz que:
representação da proporção
Temos que a mais b46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na proporção temos:
apurando o valor de 'a'
Calculemos o valor de b:
Calculando o valor de 'b'
Portanto:
RespostaO segundo dos números é igual a 17 e o primeiro é igual a 29.
Enunciado8) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?
Da segunda propriedade das proporções temos:
representação da proporção
Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:
apurando o valor de 'b'
Para calcularmos o valor de a temos:
Calculando o valor de 'a'
Portanto:
Resposta75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b.
Enunciado9) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x?
De acordo com a quarta proporcional temos:
Resolução de exemplo com a quarta proporcional
RespostaO valor da quarta proporcional x é 70.
Enunciado10) Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x?
De acordo com a terceira proporcional temos:
Resolução de exemplo com a terceira proporcional
RespostaO valor da terceira proporcional x é 25.
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Aperfeiçoamento professor de matemática , ensino fundamental

Mini curso Aperfeiçoamento para professores de matemática ensino fundamental

´DIVISIBILIDADE EXERCÍCIOS COMENTADOS.


Enunciado1) Se um número natural n for dividido por 27, o resto desta divisão será igual a 7. Se dividirmos o número n + 50 também por 27, qual será o resto obtido?

O resto da divisão de 50 por 27 é igual a 23.
Já o resto da divisão de n por 27 é igual a 7.

Ao somarmos 23 com 7 obtemos 30, o resto da divisão de 30 por 27 é igual a 3.

Você pode também pensar da seguinte forma:

Originalmente como o resto era igual a 7, isto significa dizer que para se obter o próximo número divisível por 27, era necessário que se acrescentasse 20 a ele, como foi acrescentado 50, que é igual a 20 + 27 + 3, pode-se dizer que ao acrescentarmos 20, o resultado obtido era divisível por 27, ao acrescentarmos mais 27, obviamente o número ainda continuou divisível por 27, mas ao finalmente ao acrescentarmos 3, este passou a ser o resto da divisão de n + 50 por 27.

Portanto:
RespostaAo dividirmos o número n + 50 por 27 o resto obtido será igual a 3.

Enunciado2) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9?
Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível tamtém por 5 . 9, ou seja, é divisível por 45.
O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45.
Você poderia ter interpretado o enunciado deste exercício como sendo: Qual é o resto da divisão de 61577 por 45?
61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17.
Logo:
RespostaDevemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9.

Enunciado3) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?
Este problema é semelhante ao anterior, mas há uma pequena diferença.
25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.
Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 - 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.
Assim sendo:
RespostaDevemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7.

Enunciado4) Qual valor devemos atribuir a x, o último dígito do número 38748x para que ele se torne um número divisível por 6, mas não divisível por 2?
Sabemos que todo número divisível por 6, é também divisível por 2.
Portanto:
RespostaTal valor não existe, pois todo número divisível por 6 é também divisível por 2.
Enunciado5) Qual é o menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número divisível por nove?
Ao somarmos 1 + 2 + 3 + 4 + 5, os algarismos de 12345, obtemos 15, que dividido por nove tem um resto de 6. Isto quer dizer que 12345 dividido por seis apresenta o mesmo resto.
Devemos então encontrar o menor múltiplo de nove com dois dígitos, que ao ser subtraído em seis unidades ainda continue com dois algarismos.
Quando falamos em número com dois dígitos, obviamente estamos falando em algarismos significativos, já que 06, por exemplo, possui dois dígitos, mas o primeiro deles não é significativo.
Este número é o número 18, que menos 6 é igual a 12.
Então:
RespostaO menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número divisível por nove é o número 12.
Enunciado6) Sendo x e y algarismos do número 32x84y, qual deve ser o menor valor atribuído a cada uma destas variáveis, tal que 32x84y seja simultaneamente divisível por 3 e por 5?
Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5. Obviamente escolheremos 0 pois é o menor.
Somando os algarismos conhecidos temos: 3 + 2 + 8 + 4 + 0 = 17
Após 17, o próximo número divisível por três é o 18, portanto devemos atribuir 1 a x.
Logo:
Respostax = 1, y = 0.
Enunciado7) Sendo x e y os dois últimos dígitos do número 1xy, qual deve ser o maior valor atribuído a eles de sorte que o número resultante seja tanto divisível por 5 e por 6?
Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5, mas como o número precisa ser par, para que seja também divisível por seis, só nos resta o dígito 0.
Temos então o número 1x0. Como 1 + 0 = 1, o maior dígito que podemos somar a ele de sorte a obtermos um número divisível por três e consequentemente por seis já que y é par, é o dígito 8.
Portanto:
Respostax = 8, y = 0.
Enunciado8) Qual é o menor número ímpar com cinco dígitos que é divisível por 50?
Todos os múltiplos de 50 são pares, pois podemos expressar cinquenta como 2 . 25.
Portanto:
RespostaNão existe um número natural ímpar, qualquer que seja a sua quantidade de algarismos, que seja divisível por 50.
Enunciado9) Qual é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5?
Os números divisíveis por quatro e também por cinco são todos terminados em 00, 20, 40 e 80.
Como não importa o primeiro dígito, o maior número com três dígitos, obviamente significativos, é o número 980.
Portanto:
Resposta980 é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5.
Enunciado10) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5?
Sabemos que se a um número a divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.
Portanto:
RespostaSim, se adicionarmos 315 a este número ele ainda continuará sendo divisível por 9 e por 5.